高数解微分方程的方法(高数可降解微分方程)

高等数学求微分方程的通解

微分方程首先要分清类型，一把钥匙开一把锁。这是常系数非齐次线性方程，解法是

先求常系数齐次线性方程y"+3y'+2y=0的解，这只要解代数方程x^2+3x+2=0,x=-1,-2

齐次线性方程y"+3y'+2y=0的通解为y=c1e^(-x)+c2e^(-2x),

再求微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的一个特解，因为e^(-x),e^(-2x)与e的x次方不同,

可设微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的一个特解就是y=Ae的x次方,代入y"+3y'+2y=6(e的x次方)得

A+3A+2A=6,A=1,微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的一个特解就是y=e的x次方,

所以所求通解为y=c1e^(-x)+c2e^(-2x)+e的x次方.

这题是最简单的常系数非齐次线性方程。

高等数学，求微分方程特解

方法一：因为1+i不是齐次线性方程的特征方程的根，所以设非齐次线性方程的特解y*=e^x(Acosx+Bsinx)，代入得

(-A-2B)cosx+(2A-B)sinx=cosx

所以，-A-2B=1，2A-B=0，得A=-1/5，B=-2/5。

所以y*=-1/5e^x(cosx+2sinx)。

方法二：e^xcosx是e^((1+i)x)的实部，所以先求y''-4y'+3y=e^((1+i)x))的特解，设为Y*=Ae^((1+i)x)，代入得(-1-2i)A=1，所以A=-1/5+2i/5。

所以Y*=(-1/5+2i/5)e^((1+i)x)=(-1/5+2i/5)e^x(cosx+isinx)，其实部是-1/5e^xcosx-2/5e^xsinx。

所以y''-4y'+3y=e^xcosx的一个特解y*＝-1/5e^xcosx-2/5e^xsinx。

大一高数微分方程怎么解

原方程可化为

y'=-y/x2 +e^(1/x)(*)

先求对应的齐次方程y'=-y/x2

dy/y=-dx/x2

ln|y|=1/x +C

即y=Ce^(1/x)

由常数变易法，令y=C(x)e^(1/x)

则y'=C'(x)e^(1/x) - C(x)e^(1/x) /x2

代入方程(*)得

C'(x)=1，C(x)=x+C

故原方程的通解为y=(x+C)e^(1/x)

由y(1)=(1+C)e=0得C=-1

故特解为y=(x-1)e^(1/x)

设斜渐近线为y=ax+b

则a=lim[x→∞]y/x=(1-1/x)e^(1/x)=1

b=lim[x→∞](y-x)=lim[x→∞][(x-1)e^(1/x) -x]

=lim[t→0][(1-t)e^t -1]/t(令t=1/x)

=lim[t→0](-te^t)=0

故斜渐近线为y=x