稳定的扩散模型(稳定扩散与不稳定扩散概念辨析)
常见的风速扩散模型有哪两种
常用的模式有对数律和指数律两种。
指数律又称幂律，对数律是在切应力不变的假定下求得的，相应的大气湍流运动主要取决于动力因子的作用，便于通过风洞实验模拟而建立风速廓线模式。它适用于中性层结的风速计算，也可用于非中性层结时近地面层的风速估算。
指数律属经验公式，通过实测某一高度上的风速和选择各种稳定度下相应的实验指数值，在广泛的条件下均可应用，但在紧靠地面附近，特别是在中性层结时，不如对数律准确。
高斯扩散模型的有关假定
大量的实验和理论研究证明，特别是对于连续源的平均烟流，其浓度分布是符合正态分布的。因此我们可以作如下假定：
(1)污染物浓度在y、z轴上的分布符合高斯分布（正态分布）；
(2)在全部空间中风速是均匀的、稳定的；
(3)源强是连续均匀的；
(4)在扩散过程中污染物质量是守恒的（不考虑转化）。
连续恒定源扩散
考虑包气带通过一个孔道经过孔隙水的扩散向潜水传送组分的传质过程。与瞬时源不同的是，这时扩散组分通过在孔隙水表层形成一个稳定的饱和层，在气体相平衡溶解的作用下成为浓度恒定且持续的源，如图8—6所示。
图8—3 扩散距离z=2cm处浓度的历时曲线
图8—4 扩散过程不同时刻浓度的分布曲线
图8—5 瞬时源扩散方程曲面图
a—单向扩散曲面图；b—双向扩散曲面图
连续扩散源可表示成无限多的瞬时源（单个脉冲）连续组成的。扩散系统空间位置P点扩散组分浓度是由无限多个瞬时源的连续累加形成的，其浓度可用叠加的形式表达。
图8—6 连续恒定源单向一维分子扩散
连续恒定源扩散问题的初始条件为：c=0（z＞0，t≥0）；边界条件：无限远边界条件：c（∞，t）=0（t＞0）；若以恒定浓度常量c0表达dW，使得瞬时源强度dW=c0dξ（dξ为微小的距离），则用δ函数δ（ξ）表示的初始边界条件为c（0，t）=dW·δ（ξ）=c0dξ·δ（ξ）（z=0，t≥0），δ（ξ）的量纲为[L—1]。
坐标ξ（为负值）的一个瞬时源扩散作用到P（z）点，即为一个dW瞬时源的扩散传质方程在z位置产生的浓度值，依据式（8—7a）或式（8—7b）积分，得式（8—9）中的z—ξ为瞬时源到P（z）点的位置。
水文地球化学基础
连续恒定源单向扩散至z位置产生的总浓度值c（z，t），等于持续恒定源中每个微分量扩散浓度值dc（z，t）的叠加，符合叠加原理，表达为c（z，t）=
zdc（z，t），代入式（8—9），得到叠加形式的方程：
水文地球化学基础
将参变量改写为ξ=z—ξ，则积分上下限ξ=[—∞ 0]变为ξ=[∞ z]，dξ=—dξ，式（8—11）可仍以可取代号作变量写为
水文地球化学基础
式（8—10）或式（8—11）右边的积分可用误差函数erf或余误差函数erfc表示。
由误差函数的定义：
水文地球化学基础
误差函数常用性质有：erf（0）=0，erf（—x）+erf（x）=0，erf（∞）=1。
余误差函数erfc的定义：
erfc（x）=1—erf（x）
在应用误差函数作数量计算时，可利用软件计算其函数值，一般精度的计算可查图8—7得到误差函值。
对照erf（x）定义，取z=
，并以误差函数erf（）表示结果，c（z，t）=c0—c0cerf（
）。
图8—7 误差函数曲线
利用误差函数的性质处理后得到的式（8—12），是以余误差函数erfc（）表达的连续恒定源单向扩散问题解：
水文地球化学基础
依据方程式（8—12），式中的参数c0=10mg/L，D=1.3×10—4m2/d，绘制图8—8。式中
为t扩散时间下的特征扩散距离
，相应特征浓度近似等于c0/2。
式（8—10）～式（8—12）是持续恒定源单向分子扩散模型的解析解形式，图8—8所示曲面是解的三维图形解形式。
图8—8 持续源一维扩散浓度变化曲面
参数取值：c0=10mg/L，D=1.3×10—4m2/d
作图范围：0＜z＜0.5，0＜t＜300
为了直观表现扩散组分状态的动态变化，可以利用非稳态问题的解，作连续多个不同时刻t下的z—c曲线，制作动画，即为动画形式的解。因此，解析解、数值解是最常用的两种形式，有时其他的表达形式可能更适合应用的需要。
【例题8—3】某水井内径25cm，渗流涌入1.0m深的井水，井水温度10℃，表层水饱和溶解氧浓度可持续达10mg/L，井水中无产氧和耗氧过程，水井附近含水层地下水中的溶解氧浓度为0。试计算300d的平均扩散距离
；并给出
前后一定范围内经300d井水中各不同深度处的O2浓度是多少？
解：t=300d，D=1.3×10—4m2/d，由式（8—5）得
0.27m。
，约为半浓度位置。
按300d时平均扩散距离为0.27m，可认为扩散浓度波前锋可达到
处，z的计算取值可在0～0.8m内。本例中z取1m内的计算范围。
依据式（8—8），在Microsoft Excel表单中可利用Excel内置函数erfc计算。数表解见表8—3。
表8—3 解的数据表
再将数值结果作图（图8—9），以利于观察浓度变化趋势和得到更多位置上的浓度值。
图8—9 持续源一维单向扩散浓度变化曲线
图8—8为本题单向持续恒定源分子扩散模型的图形解。图8—9为图8—8中的一个剖面线，是在一定时间（t=300 d）时持续源一维单向扩散浓度变化曲线。
扩散源扩散组分的来源，有多种形式。如前所述的瞬时源是最基本的源，其他的源可以用瞬时源表示。除了无限连续源、无限持续源以外，还存在有限连续或持续源；持续源的源强度可以如例8—3为恒定源，也可是强度随时间变化的源。
治虫防病下的疫情扩散模型是怎样的？
根据2002—2007年上垟乡董岙村坚持治虫防病单项技术应用的果园定点监测情况
台州市黄岩区上垟乡董岙村发病果园疫情演变进程
经计算机统计回归模拟，线性回归分析，其时间序列的病情扩散速率呈直线上升，其发病扩散速率（P2%：株发病率%）与时间序列的发病年数N2（N1=1，2，3，4，5，6）呈极显著线性相关关系，其相关模型为P2=7.8857N2-10.2667（n=6，r=0.9675**）；但经非线性回归分析，结果也呈极显著函数关系，其函数模型为P2=1.4107N22-1.9893N2+2.90（n=7，r=0.9996**）。按此扩散速率达到全园毁园，线性模型需14年左右，较自然条件下的发病果园扩散速率可延缓5年；非线性模型达到全园毁园仅需9年左右，与自然状态扩散速率基本相似
柑橘黄龙病在治虫防病条件下疫情扩散
由此可见，疫情入侵后及时通过治虫防病可大大减轻或延缓发生为害，但其单项防控措施达不到持续控制效果。
《模型思维》之广播模型、扩散模型和传染模型
一、广播模型
广播模型刻画了思想、谣言、信息或技术通过电视、广播、互联网等媒体进行的传播。这个模型不适用于在人与人之间传播的传染病或思想。由于广播模型更适合描述思想和信息的传播（而不是传染病的传播），所以我们在这里说知情者的人数，而不说感染者的人数。
在给定时间段内，知情者人数等于前一期的知情者人数加上易感者听到信息的概率乘以易感者人数。在广播模型中，相关人群中的每一个人最终都会知悉信息。如果有适当的数据，就可以估计出相关人群的规模。
二、扩散模型
扩散模型假设，当一个人采用了某种技术或患上了某种传染病时，这个人有可能将之传递或传染给与他接触的人。在传染传染病的情况下，个人的选择不会在其中发挥任何作用。一个人患上某种传染病的概率取决于诸如遗传、病毒（细菌），甚至环境温度等因素。在炎热潮湿的季节，疟疾的传播速度要比在寒冷干燥的季节快得多。
在这个模型中，与在传播模型中一样，从长期来看，相关人群中的每个人都会掌握信息。不同的是，扩散模型的采用曲线是S形的。最初，几乎没有人知情，I0很小。因此，能够与知情者接触的易感者人数也必定很小。随着知情者人数的增加，知情者与不知情者之间接触的机会增加，这又使知情者的人数更快地增多。当相关人群中几乎每个人都成了知情者时，新知情的人数会减少，从而形成了S形的顶部。
三、巴斯模型
巴斯模型中的差分方程等于广播模型和扩散模型中的差分方程之和。在巴斯模型中，扩散概率越大，采用曲线的S形就越显著。电视、收音机、汽车、电子计算机、电话机和手机的采用曲线形状都是r形和S形的组合。
四、SIR模型
SIR模型会产生一个临界点，就是所谓的基本再生数R0，也就是接触概率乘以扩散概率与痊愈概率之比。某种传染病，如果R0大于1，那么这种传染病就可以传遍整个人群，而R0小于1的传染病则趋于消失。在这个模型中，信息（或者，在这个例子中是传染病）并不一定会传播到整个相关人群。能不能做到这一点取决于R0的值。
这个模型意味着，这些概率只要发生了微小的变化，就可以使R0移动到高于零的水平，从而造成成功与失败之间的天壤之别。
在SIR模型中，我们推导出了两个关键阈值，即R0和疫苗接种阈值。这两个阈值都是属于敏感依赖于环境的临界点，环境（情境）中的微小变化都会对结果产生很大的影响。这种临界点不同于直接临界点（direct tippingpoint）。在直接临界点，特定时刻的微小行动会永久性地改变系统的路径。而在依赖于环境的临界点上，参数的变化会改变系统的行为方式。