微分方程的经典解法(微分方程经典解法的原理)
二阶微分方程解法总结有哪些？
二阶微分方程解法总结：可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。
微分方程解法总结：
一、g(y)dy=f(x)dx形式，可分离变量的微分方程，直接分离然后积分。
二、可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程，换元分离变量。
三、一阶线性微分方程，dy/dx+P(x)y=Q(x)先求其对应的一阶齐次方程，然后用常数变易法带换u(x)；得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}。
约束条件：
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。
微分方程的解怎么求啊？
微分方程的解根据方程类型而定，以下为具体解法。
一、一阶微分方程
1.可分离变量方程
若一阶微分方程y'=f(x,y)可以写成dy/dx=p(x)q(y),则称之为可分离变量方程，分离变量得dy/q(y)=p(x)dx,两边积分∫dy/q)(y)=∫p(x)dx即可得到通解。
2.齐次方程
将齐次方程通过代换将其化为可分离变量方程。令u=y/x,即y=ux,则dy/dx=u+x*du/dx,齐次方程dy/dx=φ（y/x）化为u+x*du/dx=φ(u)，分离变量得du/φ(u)-u=dx/x,两边积分
∫du/φ(u)-u=∫dx/x后即得齐次方程的通解。
3.一阶线性方程
对于一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为y=?e ^-∫P（x）dx (∫Q(x)*e ^∫P（x）dx+C)
4.伯努利方程
伯努利方程y'+P(x)y=Q(x)y^n(n∈R,n≠0，1)的通解为z=y^1-n=?e ^-∫(1-n)P（x）dx (∫(1-n)Q(x)*e ^∫(1-n)P（x）dx dx+C)
二、可降阶的二阶微分方程
y”=f(x)型方程——缺y，y'
对于此类方程，只要连续积分两次，即可得原方程的通解.
y”=f(x，y')型方程——缺y
令y'=p，则y''=p'=dp/dx，原方程降为p(x)的一阶方程p'=f(x,p).设其通解为
p=φ(x，C1)，即y'=φ(x，C1)，两边积分即可得原方程的通解y= ∫φ(x，C1)dx+C2.
y”=f(y，y’)型方程——缺x
具体变换过程如下：
令y'=p,则y''=p'=dp/dx=p*dp/dx,原方程降为一阶方程p*dp/dy=f(y,p)
设其通解为p=φ(y，C1),分离变量有?dy /φ(y,C1)=dx，两边积分即得其通解为
∫dy/φ(y,C1)x+C2
三、二阶线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程y''+py'+qy=0，根据其特征方程r^2+pr+q=0根不同情况，其通解有以下三种形式：
(1)特征方程r2+pr+q=0有两个不相等的实根 r1,r2时，通解为Y=C1e^r1x+C2e^r2x
(2)特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根r时，通解为Y=(C+C2x)e^rx
(3)特征方程r2+pr+q=0有一对共轭复根r=a±iβ时，通解为Y=e^αx *(C1cos?βx+C2sin?βx).
求微分方程
微分方程求法如下：
1、可分离变量的微分方程解法。
2、齐次方程解法。
3、一阶线性微分方程解法。
4、可降阶的高阶微分方程解法。
可分离变量的微分方程解法：一般形式：g(y)dy=f(x)dx，直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx，设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解。
齐次方程解法：一般形式：dy/dx=φ (y/x)，令u=y/x则y=xu，dy/dx=u+xdu/dx，所以u+xdu/dx=φ(u)，即du/［φ(u)-u］=dx/x两端积分, 得∫du/［φ (u) -u］=∫dx/x，最后用 y/x代替u，便得所给齐次方程的通解。
一阶线性微分方程解法：形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。
微分方程解法总结是什么?
微分方程解法总结如下：
一、g(y)dy=f(x)dx形式，可分离变量的微分方程，直接分离然后积分。
二、可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程，换元分离变量。
三、一阶线性微分方程，dy/dx+P(x)y=Q(x)先求其对应的一阶齐次方程，然后用常数变易法带换u(x)；得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}。
来源及发展：
微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。
牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。