排序二叉树(排序二叉树的构造过程)

二叉排序树

二叉排序树也叫二叉搜索树、二叉查找树。二叉排序树树是一颗它的左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点的二叉树，且其左右子树也是二叉排序树。

实例

当要向二叉排序树中插入元素的时候，从根节点开始查找，先将根节点作为当前节点，如果要插入的值比当前节点的值小，则判断当前节点的左孩子是不是空，如果是空则将要插入的值作为当前节点的左孩子，不是空则将当前节点的左孩子作为当前节点继续查找；当要插入的值比当前节点的值大时，判断当前节点的右孩子是不是空，如果是空则将要插入的值作为当前节点的右孩子，不是空则把当前节点的右孩子作为当前节点继续查找

节点定义

递归实现

非递归实现

使用中序遍历，遍历出来的结构刚好是一个升序排列的数列

递归写法

非递归写法

搜索二叉排序树的时候，从根节点开始搜索，将根节点作为当前节点，如果当前节点的值和搜索的值相等，则搜索结束，返回成功；如果当前节点的值小于搜索值，则判断当前节点的左孩子是不是空，如果是空，则搜索的值不在树中，搜索结束返回失败，如果不为空，则将当前节点的左孩子作为当前节点，继续搜索；如果当前节点的值大于搜索值，则判断当前节点的右子树是不是空，如果是空，则搜索的值不在树中，搜索结束，返回失败，如果不为空，则将当前节点的右孩子作为当前节点，继续搜索。

二叉排序树的删除分为如下三种基本的情况

直接删除节点即可

将要删除的节点的孩子节点替换当前节点即可

在要删除的节点的右子树中找一个最小的值来替换掉要删除的节点，同时将这个最小的节点删除掉（也可以从左子树中找一个最大的节点）

具体情况

算法实现：

二叉排序树的查找时间与二叉树的高度有关，高度越高需要的查找时间就越多。

二叉排序树的高度有两种极端的情况，一种是完全二叉树，一种是每层只有一个节点的情况，变成了一个链表。

当是完全二叉树的时候：这种情况下的时间复杂为O(log2N)

当每一层只有一个节点时，也就是链表的时候：这种情况下的时间复杂度为O(n)

所以二叉排序树的搜索时间复杂度在：O(log2N) O(n)之间。它的插入，删除复杂度也在O(log2N) O(n)之间

二叉排序树定义

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。是数据结构中的一类。在一般情况下，查询效率比链表结构要高。

定义一：

一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

（4）没有键值相等的结点。

定义二：

一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树。

定义三：

一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

【注】：以上的三种定义在不同的数据结构教材中均有不同的定义方式 但是都是正确的 在开发时需要根据不 同的需求进行进行选择。

插入删除：

与次优二叉树相对，二叉排序树是一种动态树表。其特点是：树的结构通常不是一次生成的，而是在查找过程中，当树中不存在关键字等于给定值的结点时再进行插入。新插入的结点一定是一个新添加的叶子结点，并且是查找不成功时查找路径上访问的最后一个结点的左孩子或右孩子结点。

什么是二叉排序树?

二叉排序树要么是空二叉树，要么具有如下特点：

二叉排序树中，如果其根结点有左子树，那么左子树上所有结点的值都小于根结点的值；

二叉排序树中，如果其根结点有右子树，那么右子树上所有结点的值都大小根结点的值；

二叉排序树的左右子树也要求都是二叉排序树；

二叉树排序

二叉排序树就是中序遍历之后是有序的；

构造二叉排序树步骤如下；

插入法构造

第二个结点?4?比?6?来的小?所以插入在?6?的左子树；

第三个结点?8?比?6?来的大?所以插入在?6?的右子树；

第四个结点?5?比6?来得小?先进入左子树然后跟?4比较，

5?比4?大?所以插入在?4?的右子树；

以此类推?将要插入的结点先跟根结点比较，?比根结点大进入右子树?反之进入?左子树；

在跟进入的?左子树（右子树）的结点比较?方法同上；

直到没有结点了? 在插入；? 你给的排序最后的二叉排序树如下；

中序遍历结果是? ：? 3?4?5?6?7?8?9?；

先序遍历结果是?：?6?4?3?5?8?7?9?；

什么是二叉排序树

二叉排序树（Binary Sort Tree），首先它是一棵树，“二叉”这个描述已经很明显了，就是树上的一根树枝开两个叉，于是递归下来就是二叉树了（下图所示），而这棵树上的节点是已经排好序的，具体的排序规则如下：

若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值

若右子树不空，则右字数上所有节点的值均大于它的根节点的值

它的左、右子树也分别为二叉排序数（递归定义）

从图中可以看出，二叉排序树组织数据时，用于查找是比较方便的，因为每次经过一次节点时，最多可以减少一半的可能，不过极端情况会出现所有节点都位于同一侧，直观上看就是一条直线，那么这种查询的效率就比较低了，因此需要对二叉树左右子树的高度进行平衡化处理，于是就有了平衡二叉树（Balenced Binary Tree）

所谓“平衡”，说的是这棵树的各个分支的高度是均匀的，它的左子树和右子树的高度之差绝对值小于1，这样就不会出现一条支路特别长的情况。于是，在这样的平衡树中进行查找时，总共比较节点的次数不超过树的高度，这就确保了查询的效率（时间复杂度为O(logn)）