二阶微分方程例题及答案,二阶微分方程一般解法

二阶线性齐次微分方程通解是什么？

二阶齐次微分方程的通解是：y=e^(αx)(C1cos(βx)+C2*sin(βx))。

二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为：y"+py’+qy=0 ，其中p，q为常数。以r^k代替上式中的y（k）(k=0,1,2) ，得一代数方程：r2+pr+q=0，这方程称为微分方程的特征方程，按特征根的情况，可直接写出方程的通解。

二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。

二阶微分方程的通解公式有以下：

第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关，通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。

第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。

这道题目，我用缺x的，可降阶的二阶微分方程的方法解为什么与答案不一样？

这两个等价的啊，答案C1和C2是任意常数。

你写的虽然C2是大于0，但是C1是任意常数，x前面变号可以弥补C2不能小于0。

所以你的答案也是e^(x)和e^(-x)的组合。

二阶微分方程的通解公式

二阶微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是实常数。

自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的。若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

举例

求微分方程：y"-4y'+3y=(x^2-1)e^(3x)的通解。

第一步，先求特征方程r^2-4r+3=0的根，解得r1=3, r2=1。因此齐次方程的通解是Y=C1e^(3x)+C2e^x。

又λ=3是特征方程的一个根，因此设非齐次方程的特解y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)，代入原微分方程，可得6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化简得6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)=x^2-1，因此a=1/6, b=-1/4, c=-1/4。原微分方程的通解为：y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x)。

如求解二阶微分方程带平方

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怎么判断微分方程的阶数，它这道题答案是不是（1）2阶（2）1阶（3）2阶 （4）0阶？

简单计算一下即可，详情如图所示

二元二阶常微分方程组求解

二元二阶常微分方程组的求解，可以用龙格-库塔法求解其数值解。

求解方法：

1、自定义二元二阶常微分方程组降价函数

2、确定初始条件，x1(0)=0，dx1(0)/dt=0，x2(0)=0，dx1(0)/dt=0

3、确定时间t的范围，t【0，10】

4、确定时间t的步长，h=0.1

5、使用??runge_kutta龙格-库塔法函数或ode45函数，求解其数值解

6、绘制x1(t)和x2(t)曲线图

x0=[0;0;0;0];

a=0;b=10;h=0.1;

[t,x] = runge_kutta(@func,x0,h,a,b);

plot(t,x(:,1),t,x(:,3));

grid on

xlabel('t'),ylabel({'x1';'x2'})

h = legend('x1(t)','x2(t)','Location','northwest');

运行结果