偏微分方程求解,偏微分方程求解方法

有限差分求解偏微分方程matlab

如何使用matlab，用有限差分求解偏微分方程？

求解思路：把偏微分方程离散化，采用合适的差分方法，将复杂的方程简化成简单的线性方程组，最后求解线性方程组，得到其数值解。

现以一维扩散方程为例，说明其计算过程。

第一步，根据条件，建立边界条件和初始条件，即

g0=@(t)zeros(size(t));

g1=g0; %边界条件

eta=@(x)sin(pi*x); %初始条件

第二步，设置网格数，即

n=101; %网格数

m=101; %网格数

第三步，设置步长，即

h=0.01;%步长

k=0.01;%步长

第四步，设置t和x的初始值，即

t0=0;%t的初始值

x0=0;%x的初始值

第五步，确定扩散系数，即

K=1/pi^2;

第六步，自定义Crank-Nicolson差分格式解函数

[t,x,U]=diffusion_sol1(h,k,t0,x0,n,m,eta,g0,g1,K);

第七步，绘制偏微分方程解的曲面，即

surf(t,x,U)

最后，运行程序得到一维扩散方程数值解的曲面图

总结偏微分方程的解法

可分为两大方面：解析解法和数值解法。

其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。

数值解法又可以分为最常见的有三种：差分法、有限体积法、有限元法。其中，差分法是最普遍最通用的方法。

扩展资料

偏微分方程示例

二阶线性与非线性偏微分方程始终是重要的研究对象。

这类方程通常划分成椭圆型、双曲型与抛物型三类，围绕这三类方程所建立和讨论的基本问题是各种边值问题、初值问题与混合问题之解的存在性、唯一性、稳定性及渐近性等性质以及求解方法。

近代物理学、力学及工程技术的发展产生出许多新的非线性问题，它们常常导引出除上述方程之外的称为混合型方程、退化型方程及高阶偏微分方程等有关问题，这些问题通常十分复杂具有较大的难度。

对于偏微分方程问题的讨论和解决，往往需要应用泛函分析、代数与拓扑学、微分几何学等其它数学分支的理论和方法。

另一方面，由于电子计算机的迅速发展，使得各种方程均可数值求解，并且揭示了许多重要事实，因此，数值解法的研究，在已取得许多重要成果的基础上，将会有更快地发展。

参考资料：百度百科——偏微分方程

偏微分方程怎么解

我的高等数学没学到偏微分方程，所以下面只会个很朴素的解法, 你看看行不? 先看这个简单的微分方程：y=A*(dy/dx)+B，A,B是系数；(i) 它的解是y=C*exp(x/A)+B；C是任意常数 同样对于偏微分方程：y=K1(dy/dx)+K2(dy/dt)+K3，K1,K2,K3是系数；(ii) 。

怎么用差分法求解偏微分方程

基本原理有两种：一是利用差分格式把微分方程化为代数方程求解,二是利用差分格式逐步推进.

如：y'=2x,y(0)=0,

假设dx=0.1,有,y(dx+1)-y(dx)=2*dx(或2*(dx+1),看自己怎么选择）,于是,y(0.1)=2*0*0.1+y(0)=0,

y(0.2)=0+2*0.1*0.1=0.02,y(0.3)=0.02+2*0.2*0.1=0.06.

还有如：

y''=2x,y(0)=0,y(10)=10

此时,不能递推,得化为代数方程求解,

求解微分方程是很复杂的一门学科,差分求解是其中一种近似方法,具体得查阅相关书籍与文献.

如何求解偏微分方程

这是典型的热传导方程，可以用经典的分离变量法来求解：

令u(x,t)=f(x)g(t)，那么代入原方程得到：

fg`=f``g

不妨记f``/f=g`/g=-λ，得到两个微分方程：

f``+λf=0

g`+λg=0

并注意边界条件：

u(0,t)=f(0)g(t)=0，即f(0)=0

u`(1,t)=f`(1)g(t)=0，即f`(1)=0………………注意若g(t)等于0则有平凡解u=0，舍去；

将此两个条件代入f的方程就能解出一个f的特解：

特征方程r2+λ=0

当λ小于或等于0时，f的非零解（两个指数函数的和）无法满足边界条件；当λ大于0时，f的形式为两个三角函数，代入边界条件分析λ应满足cos√λ=0，所以λ=(2n-1)2π2/4（对应每个正整数n，共有无穷多个），每个λ又对应一个解，所以最后关于x的通解是n个解的和；

在没有其它关于g的条件时方程的通解就是这个特解乘以关于t的任意函数。

题目的后两问就是添加关于t的边界条件从而解出g的方法（特别注意要把λ代入g的方程），解法就是经典的一阶微分方程的解法，留给题主自行解决。最后再把关于x和t的解乘起来就OK了！

网页书写比较麻烦，请参考《数理方程》中有关分离变量法的部分。