堆排序,堆排序代码

堆排序法

堆排序法，就是通过堆这种数据结构来实现排序，算法复杂度为O(nlogn)。

堆是一种完全二叉树且所有的父节点均大于（或小于）其子节点。

堆排序就是将所有待排序的元素组成一个堆，然后不断弹出堆顶的元素并调用函数维持堆序，直到所有元素均被弹出后，排序完成。被弹出的元素序列即一个有序数列。

维持堆序的一般做法是这样：

当一个节点被插入时，将该节点放在堆的末尾（这是为了保证堆是完全二叉树）然后将该节点与它的父节点比较，看该节点是否大于（或小于）其父节点，即判断当前的堆是否满足堆序。如果不满足，则将该节点与其父节点交换。再将该节点与其新的父节点做比较，依此类推，直到该节点不再需要与其父节点交换为止。（即满足堆序时停止）

当一个根节点被弹出（即被从堆中删除）时，将堆最尾部的节点移动到头结点的位置，然后将该节点不断与其子节点比较，如果不符合堆序则交换，直到符合堆序为止。

以下是我自己写的一个C++的堆排序的程序，希望对你理解该算法有帮助。

#includeiostream

using namespace std;

int heap[10000],size;

void Percup(int s)

{

if(s==1)

return ;

if(heap[s/2]heap[s])

{

swap(heap[s/2],heap[s]);

Percup(s/2);

}

}

void Percdown(int s)

{

if(s*2+1=sizeheap[s*2+1]heap[s])

{

swap(heap[s*2+1],heap[s]);

Percdown(s*2+1);

}

if(s*2=sizeheap[s*2]heap[s])

{

swap(heap[s*2],heap[s]);

Percdown(s*2);

}

}

void Insert(int k)

{

heap[++size]=k;

Percup(size);

}

int Pop()

{

int h=heap[1];

heap[1]=heap[size--];

Percdown(1);

return h;

}

int main()

{

int a,n,i;

cinn;

for(i=0;in;i++)

{

cina;

Insert(a);

}

for(i=0;in;i++)

coutPop()' ';

system("pause");

return 0;

}

堆和堆排序

1，堆是一个完全二叉树；

完全二叉树要求除了最后一层，其他层的节点都是满的，最后一层的节点都靠左排列。

2，堆中每个节点都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。

3，对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，叫作“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，叫“小顶堆”。

要实现一个堆，要先知道堆都支持哪些操作，已及如何存储一个堆。

1，如何存储一个堆：

完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。

2，往堆中插入一个元素

往堆中插入一个元素后，需要继续满足堆的两个特性

（1）如果把新插入的元素放到堆的最后，则不符合堆的特性了，于是需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程叫做 堆化（heapify）

（2）堆化实际上有两种，从下往上和从上往下

（3）从下往上的堆化方法：

堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

（1）从堆的定义的第二条中，任何节点的值都大于等于（或小于等于）子树节点的值，则堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或最小值。

（2）假设是大顶堆，堆堆顶元素就是最大的元素，但删除堆顶元素之后，就需要把第二大元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后在迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。

但这种方式会使堆化出来的堆不满足完全二叉树的特性

（3）可以把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法，对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止，这是从上往下的堆化方法。

一个包含n个节点的完全二叉树，树的高度不会超过log2n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，即O(log n)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是O(log n)。

（1）排序方法有时间复杂度是O(n^2)的冒泡排序，插入排序，选择排序，有时间复杂度是O（nlogn）的归并排序，快速排序，线性排序。

（2）借助堆这种数据结构实现的排序算法就叫作堆排序，这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是O(nlogn)，并且它还是原地排序算法。

堆排序的过程大致分解为两大步骤：建堆和排序

（3）建堆：

1，首先将数组原地建成一个堆。“原地”：是指不借助另一个数组，就在原地数组上操作。

2，建堆有两种思路：

第一种：在堆中插入一个元素的思路。

尽管数组中包含n个数据，但是可以假设起初堆中只包含一个数据，就是下标为1的数据。然后，调用插入方法，将将下标从2到n的数据依次插入到堆中，这样就将包含n个数据的数组，组织成了堆

第二种：是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。

第二种和第一种思路截然相反，第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。

对下标从n/2开始到1的数据进行堆化，下标是n/2 + 1到n的节点，是叶子节点，不需堆化

3，建堆的时间复杂度

每个节点堆化的时间复杂度是O(logn)，则n/2+1个节点堆化的总时间复杂度是O(n)。

①：因为叶子节点不需要堆化，所以需要堆化的节点从倒数第二层开始。每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数，跟这个节点高度k成正比。

（4）排序：

建堆结束后，数组中的数据已是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。

将它和最后一个元素交换，最大元素就放到了下标为n的位置

这个过程有点类似“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除后，把下标为n的元素放到堆顶，然后在通过堆化的方法，将剩下的n-1个元素重新构建成堆。堆化完成之后，在取堆顶元素，放到下标是n-1的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为1的一个元素，排序工作就完成了。

（5）时间，空间复杂度，以及稳定性分析

①：整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。

②：堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是O(n)，排序过程的时间复杂度是O(nlogn),所以堆排序的时间复杂度是O(nlogn)

③：堆排序不是稳定的排序算法，可能改变值相等的数据原始相对顺序。

堆排序是什么

【概念】堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]]

=

A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。

【起源】

1991年的计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(Robert

W．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同发明了著名的堆排序算法（

Heap

Sort

)。

【简介】

堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得在当前无序区中选取最大（或最小）关键字的记录变得简单。

（1）用大根堆排序的基本思想

①

先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区

②

再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key

③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。

……

直到无序区只有一个元素为止。

（2）大根堆排序算法的基本操作：

①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2)

其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。

②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。

③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)[2]

注意：

①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。

②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止

【特点】

堆排序（HeapSort）是一树形选择排序。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系（参见二叉树的顺序存储结构），在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的记录

【算法分析】

堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用Heapify实现的。

平均性能：O(N*logN)。

其他性能：由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。堆排序是就地排序，辅助空间为O(1）。它是不稳定的排序方法。（排序的稳定性是指如果在排序的序列中，存在前后相同的两个元素的话，排序前

和排序后他们的相对位置不发生变化）。

堆排序过程

1，实用的排序算法：选择排序

（1）选择排序的基本思想是：每一趟（例如第i趟，i=0，1，2，3，……n-2）在后面n-i个待排序元素中选择排序码最小的元素，作为有序元素序列的第i个元素。待到第n-2趟做完，待排序元素只剩下一个，就不用再选了。

（2）三种常用的选择排序方法

1直接选择排序

2锦标赛排序

3堆排序

其中，直接排序的思路和实现都比较简单，并且相比其他排序算法，直接选择排序有一个突出的优势——数据的移动次数少。

（3）直接选择排序简介

1直接选择排序（select sort）是一种简单的排序方法，它的基本步骤是：

1）在一组元素V[i]~V[n-1]中选择具有最小排序码的元素；

2）若它不是这组元素中的第一个元素，则将它与这组元素中的第一个元素对调；

3）在这组元素中剔除这个具有最小排序码的元素，在剩下的元素V[i+1]~V[n-1]中重复执行1、2步骤，直到剩余元素只有一个为止。

2直接选择排序使用注意

它对一类重要的元素序列具有较好的效率，这就是元素规模很大，而排序码却比较小的序列。因为对这种序列进行排序，移动操作所花费的时间要比比较操作的时间大的多，而其他算法移动操作的次数都要比直接选择排序来的多，直接选择排序是一种不稳定的 排序方法。

3直接选择排序C++函数代码

//函数功能，直接选择排序算法对数列排序

//函数参数，数列起点，数列终点

void dselect_sort(const int start, const int end) {

for (int i = start; i end; ++i) {

int min_position = i;

for (int j = i + 1; j = end; ++j) { //此循环用来寻找最小关键码

if (numbers[j] numbers[min_position]) {

min_position = j;

}

}

if (min_position != i) { //避免自己与自己交换

swap(numbers[min_position], numbers[i]);

（4）关于锦标赛排序

直接选择排序中，当n比较大时，排序码的比较次数相当多，这是因为在后一趟比较选择时，往往把前一趟已经做过的比较又重复了一遍，没有把前一趟的比较结果保留下来。

锦标赛排序（tournament sort）克服了这一缺点。它的思想与体育比赛类似，就是把待排序元素两两进行竞赛，选出其中的胜利者，之后胜利者之间继续竞赛，再选出其中的胜利者，然后重复这一过程，最终构造出胜者树，从而实现排序的目的。

2，堆排序的排序过程

（1）个人理解：堆排序是选择排序的一种，所以它也符合选择排序的整体思想。直接选择排序是在还未成序的元素中逐个比较选择，而堆排序是首先建立一个堆（最大堆或最小堆），这使得数列已经“大致”成序，之后只需要局部调整来重建堆即可。建立堆及重建堆这一过程映射到数组中，其实就是一个选择的过程，只不过不是逐个比较选择，而是借助完全二叉树来做到有目的的比较选择。这也是堆排序性能优于直接选择排序的一个体现。

（2）堆排序分为两个步骤：

1根据初始输入数据，利用堆的调整算法形成初始堆；

2通过一系列的元素交换和重新调整堆进行排序。

（3）堆排序的排序思路

1前提，我们是要对n个数据进行递增排序，也就是说拥有最大排序码的元素应该在数组的末端。

2首先建立一个最大堆，则堆的第一个元素heap[0]具有最大的排序码，将heap[0]与heap[n-1]对调，把具有最大排序码的元素交换到最后，再对前面n-1个元素，使用堆的调整算法siftDown(0,n-2)，重新建立最大堆。结果具有次最大排序码的元素又浮到堆顶，即heap[0]的位置，再对调heap[0]与heap[n-2]，并调用siftDown(0，n-3)，对前n-2个元素重新调整，……如此反复，最后得到一个数列的排序码递增序列。

（4）堆排序的排序过程：

下面给出局部调整成最大堆的函数实现siftDown()，这个函数在前面最小堆实现博文中的实现思路已经给出，只需做微小的调整即可用在这里建立最大堆。