构造数列的方法总结(数列构造函数法)

数列构造的技巧是什么？

数列构造法是一种转化技巧，它通过构造函数、数列、不等式、图形等将问题从一种形式转化成另一种形式。构造数列一般是将一般的数列转化成等差数列或等比数列，常见的情形有用分组求和法、错位相减法等，实质是构造新的可求和数列，由递推公式求通项公式，目的是更易于解决问题。

数列构造法解题的步骤和技巧

解题步骤是分析题目条件和结论的特征，确定构造的必要性，根据需要构造数学模型，将原问题转化成新的问题得出结论。数列构造题目中经常会出现小数的情况，要对结果进行取整，我们可以进行反向取整，问至少则向上取整，问至多则向下取整。

求数列通向公式的构造法是怎样的（举个例子）

在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。例如： 中，若 求an +4, 即 ＝４，｝是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出 ,然再求后数列{ an }的通项。练习：1)数列{ an }中，an≠0，且满足 求an2)数列{ an }中， 求an通项公式。3)数列{ an }中, 求an.二．构造形如 的数列。例：正数数列{ an }中，若 解：设 练习：已知正数数列{ an }中， ,求数列{ an }的通项公式。三．构造形如 的数列。例：正数数列{ an }中，若a1=10,且 求an.解：由题意得： ，即 .即 练习：（选自2002年高考上海卷）数列{ an }中，若a1=3, ,n是正整数，求数列{ an }的通项公式。四．构造形如 的数列。例：数列{ an }中，若a1=6, an+1=2an+1, 求数列{ an }的通项公式。解：an+1+1=2a n+2, 即an+1+1=2（an+1）设 bn= an+1, 则bn = 2 bn-1则数列{ bn }是等比数列，公比是2,首项b１= a１+1＝7,， 构造此种数列，往往它的递推公式形如：。如：an+1＝c an+d,设可化成an+1+x=c(an+x),an+1=c an+(c-1)x用待定系数法得：(c-1)x＝d∴x= .又如：Ｓn+an=n+2, 则　Ｓn-1+an-1=n+1,二式相减得：Ｓn－Ｓn-1 +a n－a n-1 =１，即a n +a n－a n-1 =１，∴ 2 an－an-1=１，an = an-1+ .如上提到bn = an ＋ d = an –1练习：1.数列{ an }满足an+1=3an+2, 求an2.数列{ an }满足Ｓn+an=2n+1,求an五．构造形如 的数列。例：数列{ an }中，若a1=１，a２=3,an+2 + 4 an+1 - 5an=0 (n N),求an。解： an+2 + 4 an+1 - 5an=0得： an+2 － an+1 = - 5（an＋１ － an ） 设bn = an＋１ －an，则数列{ bn }是等比数列，公比是-5,首项b１= a2- a1＝2,∴an＋１ －an=2?6?1(-5)n-1即a２ －a１=2?6?1(-5)a３ －a２=2?6?1(-5)２a４ －a３=2?6?1(-5)３┄an －an－１=2?6?1(-5)n-2以上各式相加得：an －a１=2?6?1［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］即：an －a１=2?6?1 ，即 ，（n 当递推公式中，an＋１与an的系数相同时，我们可构造bn = an＋１ －an，然后用叠加法得：b1+b2+b3+b4+┄+bn = an-a1通过求出数列｛bn｝前n-1项和的方法，求出数列{ an }的通项公式。1) 当递推公式中形如:an+1=a n+an+b ; an+1=a n+qn(q≠1) ; an+1=a n+qn +an+b 等情形时，可以构造bn = an＋１－an ,得: bn = an+b； bn = qn; bn =qn +an+b。求出数列前n-1项的和Tn-1, Tn-1= ; Tn-1= ；Tn-1= + 即： an －a１= ; an －a１= ; an －a１= + 从而求出 an =a１+ ; an= a１+ ;an =a１+ + 。2）当递推公式中形如: an+1=a n+ ；an+1=a n+ ；an+1=a n+ 等情形可以构造bn = an＋１－an ,得:：bn = ；bn = ；bn = 即bn = ；bn = ；bn = 从而求出求出数列前n-1项的和Tn-1,Tn-1= ；Tn-1= ；Tn-1= 即： an －a１= ; an －a１= ; an －a１= 从而求出 an =a１+ ; an= a１+ ;an =a１+ 练习：1）数列{ an }中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an.2）数列{ an }中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an.3) 数列{ an }中，若a1=2， ，求通项an.六．构造形如 的形式。例：数列{ an }中，若a1=1， ，求an.解：由 得： ∴ ， ， ，… 用累乘法把以上各式相乘得： ∴ 。当递推公式形如： ； ； 等形式，我们可以构造 。可得: ; ; .然后用叠乘法得： 。 令数列{bsubn/sub}的前n-1项的积为An-1,则 ； ; 从而得到： ； ； ； ； 。练习：1）数列{ an }中，若a1=2， ，求an.七．构造形如 的形式。例：数列{ an }中，a1=2，Sn=4an-1+1，求an.解：Sn=4an-1+1，Sn-1=4an-2+1二式相减：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2 an =4an-1-4an-2an -2an-1=2（an-1-an-2）设bn=an+1-2an，当递推公式形如 Sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1) 等形式时，因an-2an+1=2(an+1-2an);an+2-an+1=(p-1)(an+1-an),我们构造bn=an+1-2an; bn=an+1-an,由等比数列知识得bn=(a2-a1)·2n-1; bn=(a2-a1)·(p-1)n-1从而得到an+1=2an+(a2-a1)2n-1;an+1=an(a2-a1)(1-q)n-1由类型四求出an。总之 ，对于很多数列，我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们的通项公式。当然，在教学中我们应当充分调动学生的积极性，努力培养学生的创造能力，让学生自己去构造，自己去探索，使学生亲尝到成功乐趣，激起他们强烈的求知欲和创造欲。

常见的数列构造法公式

常见的数列构造法公式：2an=a(n-1)+n+1。数列，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

整数（integer）是正整数、零、负整数的集合。整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…（n为非零自然数）为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。

总结高中数学数列常用方法有哪几种？

1：直接求合法

2：并项求和法

3：裂项求和法

4：拆项重组法

5：错位相减法

6：倒序相加法

7：归纳猜想法

数列构造法是什么？

构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料。

运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。

注意：

（1）有穷数列和无穷数列：

项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence）；项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。

（2）对于正项数列：（数列的各项都是正数的为正项数列）

1）从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7。

2）从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2，1。

3）从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列（摇摆数列）。

（3）周期数列：各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）。

（4）常数数列：各项相等的数列叫做常数数列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

构造法的数列构造

数列构造法能解决很多数列难求的问题，但不是绝对好用。碰到无法构造的需要猜想，证明等方法。

2an=a(n-1)+n+1

2an-2n=a(n-1)-n+1

2(an-n)=a(n-1)-(n-1)

(an-n)/[a(n-1)-(n-1)]=1/2，为定值。

有通用的方法的。

可设2an+2m(含n的式子)=a(n-1)+m(与等式左边对应，除了n换成n-1外，其余都相同的式子)

求出m就可以了。

例如本题：

2an=a(n-1)+n+1

令2an-2mn=a(n-1)-m(n-1)

即2an=a(n-1)+2mn-mn+m=a(n-1)+mn+m=a(n-1)+m(n+1)

则有m(n+1)=n+1

m=1

代回去：

2an-2n=a(n-1)-(n-1)

扩展资料：

构造数学与非构造数学之间的联系表现在“共生性”与“分岔性”上。至今，数学的构造性方法的进展始终是直接因袭标准的非构造数学想法而得到的。因此人们往往产生一种错觉，以为构造数学“寄生”于非构造数学而发展。

其实不然，往往构造数学比非构造数学能为某些定理提供更加自然、更加简单的证明，甚至可能得出一些新的非构造数学的定理。所以，这两种类型的数学之间的关系是相辅相成的共生性关系。

参考资料来源：百度百科-构造法