堆排序比较次数详解,堆排序的比较次数
堆排序的具体算法
分类: 电脑/网络 程序设计 其他编程语言
解析:
1、 堆排序定义
n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为堆，当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)：
(1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤ )
若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。
【例】关键字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分别满足堆性质(1)和(2)，故它们均是堆，其对应的完全二叉树分别如小根堆示例和大根堆示例所示。
2、大根堆和小根堆
根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆。
根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆。
注意：
①堆中任一子树亦是堆。
②以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆。
3、堆排序特点
堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。
堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系【参见二叉树的顺序存储结构】，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。
4、堆排序与直接插入排序的区别
直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。
堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。
5、堆排序
堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。
（1）用大根堆排序的基本思想
① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
② 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
③ 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
……
直到无序区只有一个元素为止。
（2）大根堆排序算法的基本操作：
① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；
② 每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。
注意：
①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻，堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。
（3）堆排序的算法：
void HeapSort(SeqIAst R)
{ 对R[1..n]进行堆排序，不妨用R[0]做暂存单元
int i；
BuildHeap(R)； 将R[1-n]建成初始堆
for(i=n;i1；i--){ 对当前无序区R[1..i]进行堆排序，共做n-1趟。
R[0]=R[1]；R[1]=R[i];R[i]=R[0]； 将堆顶和堆中最后一个记录交换
Heapify(R，1，i-1)； 将R[1..i-1]重新调整为堆，仅有R[1]可能违反堆性质
} endfor
} HeapSort
（4） BuildHeap和Heapify函数的实现
因为构造初始堆必须使用到调整堆的操作，先讨论Heapify的实现。
① Heapify函数思想方法
每趟排序开始前R[l..i]是以R[1]为根的堆，在R[1]与R[i]交换后，新的无序区R[1..i-1]中只有R[1]的值发生了变化，故除R[1]可能违反堆性质外，其余任何结点为根的子树均是堆。因此，当被调整区间是R[low..high]时，只须调整以R[low]为根的树即可。
"筛选法"调整堆
R[low]的左、右子树(若存在)均已是堆，这两棵子树的根R[2low]和R[2low+1]分别是各自子树中关键字最大的结点。若R[low].key不小于这两个孩子结点的关键字，则R[low]未违反堆性质，以R[low]为根的树已是堆，无须调整；否则必须将R[low]和它的两个孩子结点中关键字较大者进行交换，即R[low]与R[large](R[large].key=max(R[2low].key，R[2low+1].key))交换。交换后又可能使结点R[large]违反堆性质，同样由于该结点的两棵子树(若存在)仍然是堆，故可重复上述的调整过程，对以R[large]为根的树进行调整。此过程直至当前被调整的结点已满足堆性质，或者该结点已是叶子为止。上述过程就象过筛子一样，把较小的关键字逐层筛下去，而将较大的关键字逐层选上来。因此，有人将此方法称为"筛选法"。
具体的算法【参见教材】
②BuildHeap的实现
要将初始文件R[l..n]调整为一个大根堆，就必须将它所对应的完全二叉树中以每一结点为根的子树都调整为堆。
显然只有一个结点的树是堆，而在完全二叉树中，所有序号 的结点都是叶子，因此以这些结点为根的子树均已是堆。这样，我们只需依次将以序号为 ， -1，…，1的结点作为根的子树都调整为堆即可。
具体算法【参见教材】。
5、大根堆排序实例
对于关键字序列(42，13，24，91，23，16，05，88)，在建堆过程中完全二叉树及其存储结构的变化情况参见【动画演示】。
6、 算法分析
堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用Heapify实现的。
堆排序的最坏时间复杂度为O(nlgn)。堆排序的平均性能较接近于最坏性能。
由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。
堆排序是就地排序，辅助空间为O(1)，
它是不稳定的排序方法。
堆排序的比较次数
堆排序，顾名思义是通过直接选择排序衍生而来的。直接选择排序是直接从剩余记录中线性的查找最大记录的方法，并没有巧妙的利用前一轮查找所得到的信息，而堆排序，利用堆数据结构来保存剩余记录相对大小的信息，因而是更有效的选择排序。
堆分为最大堆和最小堆，本篇我们通过最大堆来实现我们的功能。
最大堆需要满足的条件： 堆中每个父节点中的数据项都要大于或等于其子节点中的数据项。
堆排序主要有两个步骤：
对所有记录建立一个最大堆。
取出堆顶的最大记录与数组末端进行交换，最大记录放在下标n-1的位置；
对剩余堆记录进行调整，再次形成一个最大堆；
再次取出对顶的最大记录与数组末端进行交换，最大记录放在下标n-2的位置；
不断重复，直到堆为空，也就是排序完成。
示例数组如下：【49,38,65,97,76,13,27,49】
通过筛选法建最大堆的前提条件：
堆的初始位置从0开始，依次递增；
若父结点的位置为i;则左孩子结点位置为2i+1；右孩子结点位置为2i+2;
筛选位置从最后一个非结点编号开始，也就是n/2-1向下取整。
初始堆如下：
初始堆
筛选位置从最后一个非结点编号开始，n=8,所以初始筛选位置为i=3，也就是i=97;
因为9749,所以位置不变；然后继续比较i,i–；
i=2时，因为1327,且6527，所以位置依旧不变。
i=1时，因为9776，所以比较38和97，因为3897所以交换位置；又因为3849所以继续交换位置，最后堆位置如下：
i=1时
i=0时，因为9765,所以比较49和97,因为4997,交换位置；又因为4976,继续交换位置，最后堆位置如下：
i=0时
到此位置，排序完成，堆变成了一个最大堆。
接下来则进行交换流程，将n-1位置的值与堆顶位置的值进行交换；
1、 i=7;交换位置7上的值和堆顶的值
交换1
交换完毕，再次调整除了i=7之外的堆元素，再次转换成一个最大堆。
交换2
2、当i=6；交换位置6和堆顶的值，然后调整属于的元素；
3、当i=5；交换位置5和堆顶的值，然后调整属于的元素；
…
当i=1时；交换位置1和堆顶的值，交换流程到此结束，最后的堆如下：
end
以上是针对堆排序的分析流程
堆排序是啥东西啊?它在最坏情况下需要比较的次数怎么算?
堆排序
堆：设有数据元素的集合（R1,R2,R3,...Rn)它们是一棵顺序二叉树的结点且有
Ri=R2i 和Ri=R2i+1(或=)
堆的性质：堆的根结点上的元素是堆中的最小元素，且堆的每一条路径上的元素都是有序的。
堆排序的思想是：
1）建初始堆（将结点[n/2],[ n/2]-1,...3,2,1分别调成堆）
2）当未排序完时
输出堆顶元素，删除堆顶元素，将剩余的元素重新建堆。
程序如下：
program duipx;
const n=8;
type arr=array[1..n] of integer;
var a:arr;i:integer;
procedure sift(var a:arr;l,m:integer);
var i,j, t:integer;
begin
i:=l;j:=2*i;t:=a[i];
while j=m do
begin
if (jm) and (a[j]a[j+1]) then j:=j+1;
if ta[j] then
begin a[i]:=a[j];i:=j;j:=2*i; end
else exit;
a[i]:=t;
end;
end;
begin
for i:=1 to n do read(a[i]);
for i:=(n div 2) downto 1 do
sift(a,i,n);
for i:=n downto 2 do
begin
write(a[1]:4);
a[1]:=a[i];
sift(a,1,i-1);
end;
writeln(a[1]:4);
end.