单射满射定义证明（单射和满射定义）

单射,满射,双射分别是什么,可不可以通俗一点讲,理论性的看不懂_百度...

1、也可以每个元素都用上了，但用了不止一次，就是满射但不是单射。如果同时是满射和单射，那么就只有一种情况，即是说 B 中每个元素都用到了，且只用到了一次。这表明 A 和 B 中的元素一样多，且是一一对应的。

2、双射（也称一一映射）：既是单射又是满射的函数被称为双射。也就是说，每个输入值都有正好一个输出值，并且每个输出值都有正好一个输入值。综上所述，满射、单射和双射是用来描述函数在不同方面的性质的术语。

3、既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射”。假设存在关于x的函数：y=2x+3，对于任何x∈R及y∈R，由于y是x的线性函数，因此对于任何x都有唯一确定的y与其对应。又通过整理可以得到x=（y-3）/2，因此对于任何y，也有唯一确定的x与其对应。

4、既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射”。双射（Bijection）的原理是一组关系，在判别某一种想法在应用能否双向的找到某一唯一对应的事物，理论上通常要判断这种想法是否满足双射的关系。

5、比如说从集合A映射到集合B吧，单射指的是一对一的映射，但是B当中也可能有些y是没有A中的x与之对应的。满射指的是可能是一对一，也可能是多对一，但是每个B当中的y都有有A中的至少一个x与之对应。双射就是中学说的一一映射，一个x对应一个y，每个y也只有一个x与之对应。

6、单射：（one-to-one function） 一对一函数，x不同则y不同。即：没有一个x对应两个y，也没有一个y有对应两个x。概念解释 如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。

设f:x-y,g:y-x,设g.f为x上恒等的函数,证明:f是单射,g是满射

定义（单射函数）： 已知 F：X→Y。则 F 是单射对任何x，y∈X，F（x）=F（y）x=y。 证明函数F：X→Y是单射的步骤： （1） 任意自X取出x和y并假设F（x）=F（y） （2） 证明x=y。

a） = b。函数f ： A → B为双射当且仅当其可逆，即，存在函数g： B → A满足g o f = A上的恒等函数，且f o g为B上的恒等函数。两个双射的复合也是双射。如g o f为双射，则仅能得出f为单射且g为满射。同一集合上的双射构成一个对称群。

total function，X中所有的值，xi在Y中都能找到相应的映射。injective，单射。指将不同的变量映射到不同的值的函数。例如，指数函数exp：R → R+：x → e^x（e的x次方）是单射的。自然对数函数ln：（0，+∞） → R：x → ln x也是单射的。onto，满射。指陪域等于值域的函数。

若h是单射，则g（f（x）=g（f（y）蕴含x=y所以f（x）=f（y）这说明g是单射，反之g是单射，则f（x）=f（y），不一定有x=y所以h不一定是单射。若h是满射，则img（f（x）=C，所以g是满射。反之不一定 （2）h是双射明显。

怎样证明单射与双射

1、单射：若对X中任意两个不同元素x1，x x1不等于x2，像f（x1）不等于f（x2），这是单射。满射：就是说Y中的任何一个元素都是X中某元素的像。双射：也叫一一映射，既满足单射又满足满射就叫双射。

2、对于集合A中的每一个元素a，B中都有唯一的元素b和它对应，这样的映射叫单射。a叫b的原像。对于单射f，如果B中的每一个元素都有原像，那么f叫满射。对于满射f，如果B中的每一个元素都有唯一的原像，那么f叫双射。

3、设f是由集合A到集合B的映射，如果所有x，y∈A，且x≠y，都有f（x）≠f（y），则称f为由A到B的单射。既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射”。假设存在关于x的函数：y=2x+3，对于任何x∈R及y∈R，由于y是x的线性函数，因此对于任何x都有唯一确定的y与其对应。

4、单射性：对于定义域中的任意两个不同元素，它们映射到值域中的不同元素。换句话说，函数的不同输入对应不同的输出。满射性：对于值域中的任意一个元素，存在至少一个定义域的元素与之对应。换句话说，函数的值域中的元素都能被映射到。